人工智能与数学教育深度融合：问题解决认知模拟（2）_学术聚焦_专家咨询团_理论频道

二、问题解决认知模拟

数学问题解决的认知模拟就是依据一定的认知模型编写计算机程序来模拟学生求解数学问题的认知过程，使计算机达到与学生解题类似的结果。学生解题的内部过程无法直接获取，计算机模拟可以将内部过程可视化显示，已成为该领域研究的一种常用方法。

（一）认知模拟

认知模型是分析问题解决认知过程的依据。以小学数学问题解决认知模型为分析框架，该认知模型包括视觉模块（Visual module）、产生式模块（Production module）、提取模块（Retrieval module）、目标模块（Goal module）、问题状态或问题空间模块（Problem state module，也称为Imaginal module）、输出模块（Manual module）等六个模块。

小学数学可分为程序性知识（Procedural Knowledge，简称PK）和陈述性知识（Declarative Knowledge，简称DK）两类知识。研究过程中，以程序性知识典型知识点“异分母相加”为例，设计典型问题，以认知模型为分析框架，描述问题解决的认知过程，并以认知矩阵的形式表示。

认知模拟工具是美国卡耐基梅隆大学著名认知心理学家安德森（Anderson, John R.）教授研究团队开发的ACT-R 6.0（adaptive control of thought - rational，简称ACT-R），其内部架构、参数设定都是依据大量的心理学实验数据得到的，很多数据是通过核磁共振实验精确验证过的，具有一定的认知神经学基础。它已经被广泛使用来模拟人类认知行为的不同方面。研究中根据以上对“异分母相加”问题解决认知过程的分析，构建“异分母相加”ACT-R模型，使用Common Lisp语言编写认知程序，实现认知模拟。分析模拟过程可以看出，问题解决过程中设定目标是关键一步，从确定目标开始，中间过程是问题状态的不断转换，最终以达到目标结束。

分析模拟过程可以看出，问题解决过程中设定目标是关键一步，从确定目标开始，中间过程是问题状态的不断转换，最终以达到目标结束。

为了验证认知模拟的有效性，将认知模拟结果与学生实际问题解决过程进行对比，来检验是否一致。研究过程中，选取某小学五年级（5）班六名学生为被试，使用口语报告法收集资料。首先由专业人员转译成文本，再结合学生的解题作业进行编码分析。编码工作由两位专业人员负责，对于编码中少量不一致的地方，经讨论后达成一致。编码过程中从口语报告记录的信息中推论内部加工过程，并通过口语报告与机器模拟结果比较来推断机器模拟的有效性。结果显示。“异分母相加”问题解决认知模拟与口语报告比较后发现，两者一致。

（二）激活脑区

ACT-R中的模块映射到脑区，这种映射可以使用功能性磁共振成像（functional magnetic resonance imaging，fMRI）方法来记录“异分母相加”问题解决过程中大脑的血氧水平依赖（blood oxygen level dependent response，BOLD）相应数据。

模拟结果以三维图的形式在大脑模型中显示了“异分母相加”问题解决过程某时刻大脑激活区。亮度值表示被激活的程度，并使用不同颜色标示了缓冲区。从“异分母相加”问题解决过程大脑激活区三维显示图中可以看出，“异分母相加”问题解决过程中目标、提取、产生式缓冲区均有不同程度激活，其中目标缓冲区激活程度最大，值为0.981，接近最大值1。缓冲区与大脑区域的对应关系明显，图像缓冲区（imaginal）中内容（主要是数字）的提取与顶叶皮层（parietal cortex）的激活密切相关。提取（retrieval）缓冲区负责提取陈述性记忆，与前额叶皮层（prefrontal cortex）激活相关，即前额叶（the prefrontal）而不是顶叶（the parietal）与个人知识提取相关。程序性（procedural）缓冲区负责程序性知识的提取，与基底节激活密切联系。

（二）认知模拟对数学教学的启示

（1）对同一道题，不同的学生采取不同的解题方法

关于“异分母相加”问题，WangZY、ChenHY和XingYR虽然都正确解题，但细节还是存在差异。在求最小公倍数环节，WangZY提到了“3和5为互质数，最小公倍数为3×5=15”，激活了长时陈述性记忆中“互质数”的概念。求最小公倍数时，根据互质数的性质，最小公倍数为两数相乘，激活了长时程序性记忆。而ChenHY和XingYR则直接说出了“最小公倍数为3×5=15”，激活了长时程序性记忆。数学教学中应考虑学生解题策略的不同，鼓励学生从不同角度解决问题，有意识地培养学生的数学思维能力。

（2）学生解题过程中，存在不同程度的“自动化”现象

在“异分母相加”问题求“3和5的最小公倍数”时，WangZY说“3和5是互质数，最小公倍数是3×5=15”，而ChenHY则直接说“3和5的最小公倍数是15”，直接给出了计算结果。这一现象说明了学生在解题过程中，内部认知操作可以压缩，经过长时间的训练，几个简单的认知操作可能会压缩为一个，形成“组块”。如：两个产生式规则P1：AèB；P2：BèC，P1和P2经常同时激活，会产生新的产生式规则P3：AèC。安德森（Anderson，2005）研究解代数方程问题时发现同样存在“自动化”（speed up）现象，认为经过充分的训练可能会将解方程简化为一系列的视觉编码和输出操作。[29] 匈菲尔德（Schoenfeld，1985）研究表明，要成为某个领域的专家，一般需要在长时记忆中拥有大约50000个知识块，这些知识块是该领域内进行思维操作的具体对象，而且，在许多情况下看似在运用策略，实际上是在运用这类已相当完善的知识块。以上研究结论与本研究分析一致，这也在一定程度上解释了数学成绩优秀的学生和数学成绩差的学生在解决问题时的差异，前者具有较多的“自动化”知识，而后者则较少。

（3）错误的产生式是导致问题解决错误的重要原因之一

“异分母相加”问题中，LiL求解“1/3+2/5”时，激活了错误的产生式P1:异分母相加èè分母、分子分别相乘，导致问题解决错误。产生错误产生式的原因可能有两个：1）LiL同学对分数的意义不理解。长时陈述性记忆中关于分数的语义模型有问题。2）对前面讲过的通分策略没有理解，不知道为什么通分，如何通分。安德森（Anderson，2005）研究了学生学习解代数方程的认知过程也认为，学习发生在符号层级，创建（或生成）了新的产生式规则。因此，教师如何帮助学生形成正确的产生式规则是程序性知识学习的重要环节。

（4）问题解决认知过程分析为问题诊断及干预提供帮助

LiL在计算“异分母相加”时出现了典型错误，分析口语报告可以发现，1）LiL成功提取了陈述性知识3×5=15和1×2=2，说明两数相乘没有问题；2）虽然直接分子、分母分别相乘，说明能正确识别分数的分子、分母；3）解题错误关键是错误的产生式“异分母相加è分子、分母分别相乘，作为和的分子、分母”。要帮助LiL同学改正错误，就要考虑如何帮助他形成正确的产生式“异分母相加è求最小公倍数”及实现该产生式需要的教学干预。

通过对小学数学“异分母相加”这一程序性知识典型问题为例，综合心理学、教育学、脑科学、认知神经科学、人工智能等相关学科的研究成果，分析了问题解决的认知过程，实现了认知模拟及可视化显示，并讨论对小学数学教学的启示。问题解决认知分析与模拟有助于更好地理解学生的学习。然而，学生因已有知识、学习风格、认知特点、家庭环境等因素，对同一问题的解答可能不会完全一致，但总会有相似的地方。通过口语报告的方法来验证计算机模拟不是所有人问题解决过程都是一样的，但是有很多相似的地方，即共性的部分。[32]在本研究中也主要考虑其共性部分。

问题解决是一个非常复杂的认知过程，计算机能否完全模拟人的问题解决过程，一直存在争议。然而，计算机模拟把问题解决过程中的一些因素综合起来，重建这个过程，克服了以往实验心理学以分析为主的做法，为从整体上了解问题解决的认知过程开辟了一条道路。随着认知科学和人工智能的不断发展，认知分析和模拟为研究问题解决过程提供了新视角。对学习内容、学习过程的分析，有利于数学教师更好地理解学生学习过程，为学习媒体选择、典型问题设计、问题诊断等提供依据和参考；有利于设计数学教师培训课程体系，促进新手教师向专家教师发展，提高数学教师的教学技能。

以上观点摘自《问题解决与认知模拟——以数学问题为例》（魏雪峰著，中国社会科学出版社）。